拉格朗日乘数法

寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数极 值方法。将n个变量和k个约束的最优问题转换为 n+k变量的方程组极值问题，变量没有约束。

拉格朗日乘数：约束方法梯度的线性组合中各向量的系数(法向量的系数)

用拉格朗日乘法解决约束条件下的最优问题

二元类型

目标函数：

$$ f(x,y) = x^2+4y^2 -2x+8y $$

约束条件： $$ x+2*y=7 $$

最优问题：在约束条件下找目标函数f(x,y)的最小值

几何问题：目标函数为一个椭圆，约束条件为直线，最优问题在几何上表现为，椭圆经过放大后和直线相交情况下最小面积。

1. 确认目标函数

2. 确认约束函数 $$ g(x,y)=x+2*y-7 $$

3. 拉格朗日求解极值点

4. 确定最小值

5. 拉格朗日求解极值点

$$ f(x,y)=(2x-2)i+(8y+8)j $$ $$ g(x,y)=i+2j $$ $$ f(x,y)=b(g(x,y)) $$

$$ (2x-2)i+(8y+8)j = b(i+2j) $$ $$ (2x-2)i+(8y+8)j = bi+2bj $$ $$ 2x-2=b $$ $$ 8y+8=2b $$ $$ 2x-2 = 4y+4 $$ $$ x = 2y+3 $$ $$ x+2y-7=0 $$ $$ 4y-4=0 $$ $$ y=1 $$ $$ x= 7 $$ 极值点(5,1)

1. f(5,1)=27

最小值为27

三元类型

目标函数

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

约束条件

$$ x+y+z=1 $$

1 约束函数

$$ g(x,y,z)=x+y+z-1 $$

2 最优问题 约束下最小值

3 拉格朗日求最小值

$$ f(x,y,z)=2x+2y+2z $$ $$ g(x,y,z)=1+1+1 $$ $$ 2x+2y+2z = b(1+1+1) $$ $$ 2x=1 $$ $$ 2y=1 $$ $$ 2z =1 $$ $$ x+y+z-1=0 $$ $$ x=y=z=1/3 $$

1. 最小值

$$ f(1/3,1/3,1/3)=1/3 $$

多约束问题